Лекція №4 Пряма і площина. Проекції прямої. Сліди прямої. Лінії рівня. Дійсна величина прямої та кути нахилу її до площин проекції. Плоекції площини

4.1 Проекції прямої.

Пряму в геометрії розглядають якмножину точок. Проекціями прямої є, як правило, також прямі. У системі площин П1 і П2 пряму загального положення (не паралельна жодній з площин проекцій) зображують двома прямими, кожну з яких задають двома параметрами, а отже, — всього чотирма. Перетин прямої з площинами проекцій називають слідами прямої. Перетин прямої з площиною П| називають горизонтальним слідом. Якщо пряма паралельна площині проекції, то відрізок прямої зображується на одній з площин проекцій в натуральну величину; якщо пряма перпендикулярна до площини проекції, то вона проекціюється в точку. Прямі, паралельні площинам проекцій, називають лініями рівня. Прямі, перпендикулярні до площин проекцій, називають проекціювальніши: АЕ— горизонтально проекціювальна, АО — фронтально проекціювальна, АВ — профільно проекціювальна.

Точки, що належать (інцидентні) одній проекціювальній прямій, називають конкуруючими. На одному з полів проекцій їхні проекції збігаються.

За допомогою таких точок визначають видність геометричних фігур на рисунку в прямокутних проекціях. Далі буде показано, як використовують конкуруючі точки при визначенні видності геометричних фігур.

Візьмемо в декартовій системі координат дві точки М(х1,у1,z1) N (х2,у2,z2) і визначимо переміщення від М до N або навпаки.

Позначимо переміщення від точки М до точки N через М~Н, а переміщення від N до М — через NМ. Якщо ММ розкласти на складові, паралельні осям координат, то переміщення ММ визначатиметься координатами Хmn, Уmn, Zmn, у, Точки N відносно точки М, тобто відносні координати.

Як бачимо (рис. 4.2, а), Xmn = х2 – х1, Умn = У2-У1, Zмn, у =Z2-Z1. Напрямлене переміщення А/ТУ називають вектором відносного положення точки відносно точки М і зображують стрілкою, що виходить з М і закінчується в N.

Вектори ОМ і ОМ називають радіусами-векторами абсолютного положення точок М, N у декартовій системі координат Охуz і графічно зображують відповідними стрілками.

Рис. 4.1.

Пряму в просторі можна задати аналітичне за допомогою рівнянь. Якщо, наприклад, задано радіус-вектор однієї з точок прямої та напрямний вектор (рис. 4.2, б) довільну точку прямої N визначають векторним рівнянням

Rn-Ra = ир,

Де и — змінна (параметр), яка відповідає дійсним значенням точок прямої.

Векторному рівнянню відповідають три скалярні рівняння:

Де у, х, z координати будь-якої точки прямої.

Пряму в просторі можна задати також рівняннями площин, що її проекціюють:

Тут перше рівняння задає горизонтально проекціювальну площину, а друге — фронтально проекціювальну.

При розгляді відрізка прямої часто виникає потреба у визначенні його натуральної величини та кутів нахилу до площин проекцій П1 та П2, тобто доводиться розв’язувати метричну задачу. Так називають будь-яку задачу, в умові чи при розв’язанні якої є числова характеристика. Розв’язання всіх метричних задач грунтується на двох основних задачах, першою з яких є визначення натуральної величини відрізка прямої. Для цього треба виконати деякі побудови.

На рис.4.3, о показано відрізок АВ та дві площини проекцій П1, та П2. Якщо від точки А відкласти відрізок АС, паралельний горизонтальній проекції А, Д), то утвориться прямокутний трикутник АВС з гіпотенузою АВ. Отже, натуральна величина відрізка прямої загального положення дорівнює гіпотенузі прямокутного трикутника, один катет якого є проекцією відрізка, а другий — різницею відстаней кінців другої проекції до осі П2 (в безосній системі — до довільної горизонтальної прямої). Відповідну побудову виконано на рис. 4.2, б, де визначається й кут нахилу прямої до горизонтальної площини проекцій П|. Щоб визначити кут нахилу прямої до фронтальної площини проекцій, треба виконати відповідну побудову прямокутного трикутника на фронтальній площині проекцій. Цей спосіб визначення величини відрізка прямої називають способом прямокутного трикутника

Рис.4.2

а

Рис.4.3

4.2. Проекції площини

Якщо точка є нуль-вимірною геометричною фігурою, тобто такою, що не має розмірів, пряма — одновимірною, то площина буде двовимірною геометричною фігурою. Площину можна задавати: трьома точками, що не лежать на одній прямій; прямою та точкою, що не лежить на прямій;

Двома прямими, які перетинаються або паралельні. Найбільш наочним є задання площини куском або відсіком, найпростіший з яких — трикутник.

Сформулюємо властивість проекцій площини загального положення: проекції ііло-щини збігаються з полями проекцій П1, та П2 з так, що проекції їхніх точок вертикально відповідні.

Залежно від положення, що займає площина відносно площин проекцій, розрізняють: проекціювальні площини Ө , ⌐ та ∑, які перпендикулярні до площин проекцій;

Площини, паралельні площинам проекцій, або площини рівня Г, Ф та АБС; площини загального положення (див. рис. 4.4), які не перпендикулярні, а отже, й не паралельні площинам проекцій.

При розв’язуванні різних задач нарисної геометрії часто використовують головні лінії площини: лінії рівня та лінії найбільшого нахилу до площин проекцій.

Лініями рівня площини називають лінії, що належать даній площині та паралельні одній з площин проекцій.

Горизонталь — це лінія, що належить площині і паралельна горизонтальній площині проекцій П,. На рис. 4.5 проведено горизонталь ОС, для задання якої досить одного параметра.

Фронталь — це лінія, що належить площині та паралельна фронтальній площині

Рис.4.4

Рис.4.5

Проекцій П2. Нарис. 4.5 проведено фронталь АЕ, її також визначають одним параметром. Інші три параметри замінюються належністю площині (два) та паралельністю одній з площин проекцій (один).

Горизонталь і фронталь використовують для задання площини, що дає змогу визначити орієнтацію площини відносно площин проекцій. Лінії перетину площини з площинами (полями) проекцій — сліди площини — також є горизонталлю та фронталлю Г. Їх у цьому випадку називають нульовими.

Задання площини слідами — найекономічніший спосіб при переході до аналітичного задання площини і для кодування геометричних фігур при геометричному моделюванні за допомогою ЕОМ.

Літі найбільшого нахилу площини до площин проекцій — це лінії, що належать площині та утворюють найбільший кут з відповідною площиною проекцій. Відносно поля П1 їх ще називають лініями найбільшого скату, або лініями скату. На рис. 4.5 проведено лінію скату ВF. Горизонтальна проекція утворює прямий кут з горизонтальною проекцією горизонталі, для її задання досить одного параметра. Лінія найбільшого нахилу відносно фронтальної площини проекцій зберігає прямий кут з фронтальною проекцією фрон-талі.

Якщо площина загального положення задається трьома дійсними параметрами, то для задання площин окремого положення досить меншої кількості.

Всього площин у просторі є ~3, а площин, перпендикулярних до будь-якої площини, — ~2. Отже, умова перпендикулярності площин еквівалентна заданню одного параметра: ~3/~ 1= ~3. Тому для задання конкретної проекціювальної площини досить мати два параметри.

Щодо площин рівня, тобто паралельних площинам проекцій, то всього площин у просторі є ~3, а площин, паралельних площині проекцій — ~1. Отже, умова паралельності площини площині проекцій еквівалентна заданню двох параметрів ~3/~ 1= ~2.

Тому для задання певної площини рівня досить одного параметра. Площина буде проекціювальною щодо площини проекцій, якщо вона містить хоча б одну відповідну проекціювальну пряму.

Рис.4.6.

Для аналітичного задання площини Г треба шість параметрів: три координати точки і три координати вектора п( nx, ny, nz ). Векторне рівняння площини має вигляд скалярного добутку:

(R-ra)п=0,

Де R — радіус-вектору будь-якої точки М площини (рис. 4.6);

(R — ra) — вектор, інци-дентний площині Г та ортогональний вектору п.

Якщо множники скалярного добутку виразити через їхні компоненти, то

(X — Хa)nx + (Y – Ya)ny + (Z — Za)nz = 0.

Це лінійне рівняння щодо координат х, у. г, воно може бути перетворене до такого вигляду:

Ах + Ву + Сг + D= 0.

Список рекомендованої літератури

Гордон В. О., Семенцов-Огиевский М. А. Курс начертательной геометрии.- М.: Изд-во Наука, 1988. – 270 с.

Михайленко В. Є., Ковальов С. М. та ін. Нарисна геометрія. Підручник для вузів. – К.:Вища школа,1993. – 134с.

Винницкий И. Г. Начертательная геометрия. Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 1985.- 168с.

Михайленко В. Е. та ін. Инженерная графика. – Киев: Высшая школа, 1990.-290 с.

Михайленко В. Е. та ін. Інженерна та комп’ютерна графіка. За ред. Михайленка В. Е. Київ: Вища школа, 2000.

Метки: