Лекція №6 Перетворення комплексного рисунка. Загальні відомості. Заміна площин проекцій, обертання навколо проекціювальних осей. Плоскопаралельне переміщення

6.1. Загальнi вiдомостi

Як було показано, метричнi та позицiйнi властивостi геометричних фiгур визначити легко при їх окремому положеннi вiдносно площин проекцiй. На практицi часто геометричнi фiгури займають загальне положення, тому треба привести положения фiгур iз загального в окреме. Таке перетворення в математицi називають вiдображенням. У геометрiї найчастiше застосовують

Вiдображення, при яких область визначення (площина) збiгається з областю значень (площиною).

Перетворення тривимiрного простору можна задати аналiтично системою трьох рiвнянь:

Рис.6.1.

Якщо х, у, z є координатами довiльної точки М вiдносно системи координат Охуz, а, x y z, — точки М вiдносно тiєї самої системи координат, то наведену вище систему рiвнянь можна трактувати як формули перетворення простору (рис. 4.2). На цьому принципi грунтусться спосiб плоскопаралельного перемiщення, а також способи обертання навколо прямих, перпендикулярних до площин поекцiй.

Розв’язання геометричних задач зводиться до розв’язання чотирьох основних задач:

1) перетворення прямої загального положеня в пряму рiвня;

2) перетворення прямої загального положения в проекцiювальну;

3) перетворення площини загального положення в проекцiювальну;

4) перетворення площини загального положения в площину рiвня.

6.2.Замiна площин проекцiй

Розглянемо точку А в системi площин П1 та П2 рис. 6.2, а). Введемо нову вертикальну площину П4, слiд якої на площинi П1 є х14. Цим самим вiд системи площин проекцiй П1 —П2 перейдемодо системи П1 — П4. При цьому горизонтальна проекцiя точки не змiниться, а фронтальною проекцiєю стане точка А4. Як бачимо (див. рис. 6.2), вiдстань вiд проекцiї А2, що замiнюється, до осi х12 дорiвнює вiдстанi вiд нової проекцiї А4 до нової осi х14. Цю саму операцiю показано на комплексному рис. 6.2, б.

На рис. 6.3 зображено розв’язання перших двох задач перетворення прямої загального положения в пряму рiвня та перетворення її в проекцiювальну. Задано вiдрiзок прямої загального положения АВ. Для перетворення його в пряму рiвня, або для визначення його натуральної величини, надовiльнiй вiдстанi вiдвiдрiзка вибирають площину, паралельну проекцiї вiдрiзка. У даному випадку взято вертикальну площину П4. Щоб дiстати натуральну величину вiдрiзка, вiд осi х14 вiдкладають вiдстанi, що дорiвнюють вiдстаням вiд точок А2 i В2 до осi х12.

Щоб пряма зайняла проекцiювальне положения, досить перпендикулярно до прямої рiвня провести нову площину П5, П слiдом буде х45. Проекцiя прямої у виглядi точки розмiститься вiд осi х45 на вiдстанi, що дорiвнює вiдстанi вiд проекцi А1В1 до осi х14.

Визначення натуральної величини трикутного вiдсiку показано на рис. 6.4. При цьому здiйснено двi замiни площин проекцiй. Першою замiною вiдсiк переведено в проекцiювальне положення, а другою знайдено його натуральну величину. Щоб перевести вiдсiк у проекцiювальне положення, необхiдно й достатньо, щоб будь-яка пряма, що належить йому, спроекцiювалася в точку. За таку пряму доцiльно взяти лiнiю рiвня, бо для її перетворення в точку досить однiєї замiни. На рисунку у вiдсiку проведено горизонталь АD, нову вертикальну площину (її слiд х14) взято перпендикулярно до горизонтальної проекцiї горизонталi (А1,D1)

При цьому вiдсiк спроекцiювався у вiдрiзок прямої В4С4. При другiй замiнi вiсь х45 проводить паралельно вiдрiзку В4С4, а вiд осi х45 вiдкладають вiдрiзки, що дорiвнюють вiдстаням вiдточок горизонтальної проекцiї до осi х14. Остаточний вигляд вiдсiку —трикутник А5 В5 С5.

Рис. 6.2

Рис. 6.3

Рис. 6.4

6.3Обертання навколо проекцювальних осей. Плоскопаралельне переміщення.

Визначення натуральної величини вiдрiзка прямої загального положення способом обертання навколо осi, перпендикулярно до площини проекцiї, показано на рис. 6.5. Через точку А проведено вертикальну вiсь i, навколо якї повернуто вiдрiзок до положения, паралельного фронтальнiй площинi проекцiй П2. Точка А, що належить осi обертання, залишається на мiсцi, а точка В повертається навколо вертикальної осi в площинi, перпендикулярнiй до неї, тобто в горизонтальнiй. Вiдрiзок А2В2

Й натуральна величина.

Оскiльки положення осi обертання не впливає на остаточний результат, то вибiр й довiльний. Саме такий спосiб показано на рис. 6.6. Щоб встановити вiдрiзок прямої в проекцiювальне положення, треба повернути його навколо “невиявлених” осей, перпендикулярних до площин проекцiй. При першому поворотi вiдрiзок зайняв положения, паралельне фронтальнiй площинi, а на полi П2 дiстали його натуральну величину. При другому поворотi навколо “невиявленої’ фронтально проекцiювальної осi до положення, перпендикулярного до горизонтальної площини проекцiй, вiдрiзок переведено у вертикальне положения.

Визначення натуральної величини трикутного вiдсiку показано на рис. 6.7. Для цього вiдсiк спо — чатку за допомогою горизонталi АD поворотом навколо вертикальної осi встановлено у фронтально проекцiювальне положения, а потiм поворотом навколо фронтально проекцiювальної осi — в горизонтальне положення, при якому вiн зобразиться на полi П1 в натуральну величину.

Рис. 6.5. Рис. 6.6

Рис. 6.7.

Визначення натуральної величини двогранного кута. Щоб ребро двогранного кута поставити у проекцiювальне положення, при якому вiн зобразиться в натуральну величину, виконують два плоскопаралельних перемiщення:

спочатку навколо фронтальної проекцiювальної невиявленої осi до переведення ребра в горизонтальне положения, а потiм навколо вертикальної невиявленої осi до його фронтально проекцiювального положення.

Список рекомендованої літератури

Гордон В. О., Семенцов-Огиевский М. А. Курс начертательной геометрии.- М.: Изд-во Наука, 1988. – 270 с.

Михайленко В. Є., Ковальов С. М. та ін. Нарисна геометрія. Підручник для вузів. – К.:Вища школа,1993. – 134с.

Винницкий И. Г. Начертательная геометрия. Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 1985.- 168с.

Михайленко В. Е. та ін. Инженерная графика. – Киев: Высшая школа, 1990.-290 с.

Михайленко В. Е. та ін. Інженерна та комп’ютерна графіка. За ред. Михайленка В. Е. Київ: Вища школа, 2000.

Метки: