Лекція №8 Криві поверхні. Конус. Циліндр. Сфера. Перетин кривих поверхонь лінією та площиною

При розв’язуванні практичних задач з кривими поверхнями доводиться знаходити перетин їх прямою чи кривою лінією, площиною, а також розглядати перетин між собою. Ці задачі називають узагальненими позиційними задачами, якщо під звичайними позиційними задачами розуміють перетин багатогранників з прямою, площиною та між собою. Для розв’язування узагальнених позиційних задач застосовують спосіб допоміжного проекціювання та спосіб січних поверхонь, а іноді й спосіб перетворення проекцій. Ідея застосування всіх цих способів полягає в досягненні такого положення, при якому безпосередньо знаходять точку чи групу точок.

Значну частину узагальнених позиційних задач можна поділити на дві групи:

1) задачі на побудову точки перетину лінії з поверхнею; 2) задачі на побудову лінії перетину двох поверхонь.

8.1. Перетин кривої поверхні з прямою та кривою лініями

Алгоритм розв’язання цієї задачі такий:

1) провести через дану лінію проекціювальну площину або циліндричну поверхню;

2) побудувати лінію перетину поверхні з проведеною проекціювальною поверхнею;

3) знайти точку перетину даної лінії зі знайденою лінією перетину.

Розглянемо на прикладі застосування цього алгоритму. Нарис. 8.1 показано перетин прямої загального положення з похилим еліптичним циліндром. Використаємо косокутне допоміжне

Рис. 8.1. Рис. 8.2.

Рис. 8.3.

Проекщювання на горизонтальну площину проекцій у напрямі твірних циліндра. При такому про-екціюванні циліндр спроекціюється колом своєї основи, а пряма — відрізком 11,21. У перетині цього відрізка з колом визначаємо допоміжні проекції точок перетину M1, і N1. Проекціюючи їх у зворотному напрямі на пряму, знаходимо точки перетину прямої з поверхнею циліндра. Беремо до уваги при цьому видимість відрізків прямої.

Якщо пряма перетинається 3 конусом, то доцільно скористатися центральним допоміжним проекціюванням з вершини конуса на площину його основи (рис. 8.2). При цьому конус спроекціюється своєю основою, а пряма — відрізком 11,21,. У перетині цього відрізка з колом визначимо допоміжні проекції точок входу та виходу: М1, N1. Зворотним проекціюванням у вершину конуса знайдемо точки перетину прямої з конічною поверхнею. Це точки М і N.

Допоміжне проекціювання (паралельне або центральне) доцільно використовувати лише для циліндричних та конічних поверхонь. Більш універсальним є спосіб допоміжних перерізів кількома проекціювальними площинами.

Іноді доцільно скористатися способом перетворення проекцій. Нарис. 8.3 показано побудову перетину відрізка прямої 1222 зі сферою. При цьому зроблено заміну горизонтальної проекції. Нова вісь проходить паралельно фронтальній проекції відрізка прямої. Через пряму проведено фронтально проекціювальну площину, яка перетинає сферу по колу радіуса r. Це коло на допоміжній проекції зображується без спотворення, перетин його з проекцією відрізка прямої дає допоміжні проекції шуканих точок, які проекціюються в зворотному напрямі на проекції прямої.

8.2. Перетин кривих поверхонь площиною

При плоскому перетині кривих поверхонь утворюється фігура, обмежена відповідною кривою. Зокрема, при плоскому перетині поверхонь другого порядку утворюються криві другого порядку. Найбільш характерною в цьому відношенні поверхнею є конус другого порядку. При перетині конуса другого порядку площиною можна дістати всі криві другого порядку. Тому криві другого порядку називають ще конічними перетзами.

Так при перетині конуса обертання площиною, перпендикулярною до осі конуса, дістанемо коло. Якщо площина перетинає всі твірні конуса і нахилена до осі, то дістанемо еліпс. При перетині конуса площиною, паралельною одній з твірних, утворюється парабола. Як відомо, парабола має одну невласну точку, яка належить саме цій твірній. При перетині конуса площиною, паралельною двом твірним, утворюється гіпербола. Як відомо, гіпербола має дві нескінченно віддалені точки, які належать цим твірним. При перетині кривої поверхні про-екціювальною площиною одна проекція кривої вже є, треба знайти тільки другу.

На рис. 8.4 зображено перетин конуса обертання площиною Г, паралельною лівій контурній твірній. В результаті перетину утворюється парабола (п’ять точок якої позначено на рисунку). Точки 1 і 2 визначають у перетині проекціювальної площини з основою конуса, вершина параболи 3 лежить на правій контурній твірній, а довільні точки 4 і 5 знайдені за допомогою горизонтального перерізу конуса площиною Л.

Перетин сфери проекціювальною площиною Ф показано на рис. 8.5. В результаті перетину утворюється коло, яке про-екціюється на фронтальну проекцію як еліпс. Точки 1 і 2 на екваторі сфери визначають за вертикальною відповідністю. Точки на фронтальному меридіані 3 і 4 є точками, що відділяють на полі П2 видиму частину еліпса від невидимої. Кінці великої осі еліпса лежать на вертикальній прямій, що проходить через середину малої осі 1222, а довжина її дорівнює діаметру кола.

На рис.8.6. показано перетин конуса обертання площиною загального положення. Тут використано косокутне допоміжне проекціювання площини та конуса у напрямі фронталі площини на горизонтальну площину його основи. При цьому площина зображується своїм горизонтальним слідом h1, а вершина конуса S, проекціюється в точку S1. Провівши з точки S1 дві дотичні до основи конуса, визначимо його косокутну проекцію. Якщо на цій проекції взяти достатню кількість твірних, то в перетині з h1, визначаться допоміжні проекції точок фігури перерізу, які повертаються у зворотному напрямі на відповідні твірні. Так., у перетині l1,S1, з h1, визначається точка А1, яка у напрямі фронталі проекціюється на твірну S1,l1. Так само знайдено точку В1 на твірній 21,S1, та інші точки. Всього на рис. 8.6 визначено кілька точок, за якими побудовано проекції еліпса як на полі П1, так і на полі П2.

Рис. 8.4.

Рис. 8.5.

Рис. 8.6.

Список рекомендованої літератури

Гордон В. О., Семенцов-Огиевский М. А. Курс начертательной геометрии.- М.: Изд-во Наука, 1988. – 270 с.

Михайленко В. Є., Ковальов С. М. та ін. Нарисна геометрія. Підручник для вузів. – К.:Вища школа,1993. – 134с.

Винницкий И. Г. Начертательная геометрия. Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 1985.- 168с.

Михайленко В. Е. та ін. Инженерная графика. – Киев: Высшая школа, 1990.-290 с.

Метки: ,