Лекция — «Динамика»

Динамикой называется раздел ТМ, в которой изучается механическое движение материальной точки, системы материальных точек и абсолютного твердого тела с учет сил, действующих сил, действующих на эти движущиеся объекты.

Первая задача динамики — заключается в том, что по заданному механическому движению тела определяют силы, под действием которых совершается это движение.

Вторая задача состоит в том, что по заданным силам, приложенным к телу, и начальным условиям определяют движение, которое они вызывают.

Динамику разделяют на динамику материальной точки, динамику системы материальных точек и динамику твердого тела.

Законы Ньютона.

В основе динамики лежат законы И. Ньютона, изложены им в «Математических началах натуральной философии» (1687).

Системы координат, в которых справедливы законы Ньютона, называются инерциальными.

1-ый закон Ньютона.

Изолированная материальная точка движется равномерно и прямолинейно либо находится в состоянии покоя до тех пор, пока действие других тел на эту материальную точку не изменит это состояние.

Изолированной называется материальная точка, взаимодействием которой с окружающими телами пренебрегают.

Из закона инерции следует, что самопроизвольное изменение движения точки невозможно.

2-ой закон Ньютона.

Скорость изменения количества движения материальной точки равна силе, действующей на эту точку.

— количество движения материальной точки;

— масса точки.

При движении с большими скоростями масса будет равна (формула Лоренца):

— масса покоящегося объекта;

— скорость движения.

При

Тогда можно записать:

Отсюда: ускорение материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое направление.

Массой материальной точки называется физическая величина, являющаяся мерой её инертных и гравитационных свойств.

3-ий закон Ньютона.

Силы взаимодействия двух материальных точек или двух тел равны по величине, направлены в противоположные стороны и имеют общую линию действия.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

Установим дифференциальные уравнения движения материально точки. Если движение задано в векторной форме с помощью радиус-вектора , то:


в координатной форме:

Динамические уравнения движения материальной точки

Где — координаты;

— проекции ускорений;

— проекции скоростей.

Две основные задачи динамики материальной точки.

Первая: определить равнодействующую сил , действующих на материальную точку, если заданы её масса и кинематические уравнения движения.

Движение материальной точки массой задано уравнениями:

Дифференцируя эти уравнения, получаем:

Тогда:

Вторая: определит кинематические уравнения движения материальной точки, если заданы её масса , приложенная к ней сила и начальные условия движения.

Решение этой задачи сводится к интегрированию дифференциальных уравнений движения материальной точки.

Сначала находят проекции силы на оси координат и затем интегрируют. Получают:

Для решения этой системы используют начальные условия и знания о том, что:

Определяют постоянные интегрирования и получают уравнения движения:

Решение второй задачи динамики включает следующие операции:

Составление динамических уравнений движения материальной точки в соответствии с условиями задачи;

Интегрирование дифференциальных уравнений;

Определение значений постоянных интегрирования;

Нахождение закона движения.

Уравнение движения несвободной материальной точки:

Где — активные силы;

— реакции связи.

Если спроецировать на координатные оси, то получим:

Основные теоремы динамики.

Нужно записать Определения.

Системой материальных точек называется совокупность материальных точек, положения и движения которых взаимосвязаны. Различают свободные и несвободные системы.

Массой системы, состоящей из материальных точек, называется сумма масс точек системы:

Центром масс системы материальных точек называется центр параллельных сил , сообщающих движение точкам системы с одинаковым ускорением или поступательное движение. Координаты центра масс:

Теорема о движении центра масс:

Центр масс системы материальных точек движется как свободная материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действуют сила, равная главному вектору внешних сил.

Количество движения системы материальных точек называется вектор, равный произведению массы точек на вектор её скорости:

Количество движения системы материальных точек (твердого тела) равно произведению массы системы (твердого тела) на скорость её (его) центра масс:

Теорема об изменяющем количестве движения системы материальных точек.

В дифференциальной форме:

Производная по времени от количества движения системы материальных точек равно главному вектору внешних сил, действующих на систему:

Следствия.

Одними внутренними силами нельзя изменить количество движения системы;

Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то количество движения материальной системы остается постоянным;

Если проекция главного вектора внешних сил, приложенных к системе на некоторую неподвижную в инерциальной системе координат ось, равна нулю, то проекция количества движения на эту ось остается постоянной.

2 и 3 следствия — это законы сохранения количества движения материальной системы.

В интегральной форме:

Изменения количества движения системы материальных точек за некоторый промежуток времени равно полному импульсу главного вектора внешних сил, приложенных к точкам системы, за тот же промежуток времени.

— элементарный импульс.

Полный импульс:

Кинетическая энергия. Работа.

Энергией называется физическая величина, которая является скалярной мерой движения материи при переходе от одной формы движения в другую (например, механической в тепловую).

[Дж]

Е — полная энергия;

Т — кинетическая;

П — потенциальная.

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная мера механического движения, равная половине произведения массы точки на квадрат её скорости:

Кинетическая энергия поступательно движущегося тела:

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной точки:

— осевой момент инерции

Вокруг оси:

При плоском движении:

Теорема об изменении КЭ материальной точки:

Приращение кинетической энергии материальной точки на некотором отрезке дуги её траектории равно работе силы, приложенной к точке на этом же отрезке дуги траектории.

Элементарная работа силы представляет собой скалярную меру действия силы, равную скалярному произведению силы на элементарное перемещение точки её приложения.

[Вт] – мощность это физическая величина, характеризующая быстроту выполнения работы силой, приложенной к материальной точке, и равна скалярному произведению силы на скорость точки.

Частные случаи:

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории движущейся материальной точки, а зависит от крайних её положений:

Работа силы упругости зависит от крайних положений точки.

Принцип д’Аламбера.

Пусть на материальную точку действует активная сила И реакция связи . Для несвободной точки:

— д’Аламберова сила инерции.

Принцип: в случае несвободной материальной точки в каждый момент времени сумма активных сил, приложенных к тоске, реакций связей и сил инерции равна нулю.

Сила инерции всегда направлена в сторону, противоположную ускорению .

Метки: ,