Як уже відомо, точка, пряма та площина є основними (непохідними) геометричними фігурами. Більш складні геометричні фігури та тіла можуть бути утворені з основних. Пряма та площина можуть мати як загальне положення, так і окреме (бути паралельними або перпендикулярними до площин проекцій). Загальне чи окреме положення площин визначається їхніми прямокутними проекціями.
3.1. Параметризація основних геометричних фігур
Параметром (від гр. — "відмірювальний") називають незалежну величину, за допомогою якої в геометричних задачах виділяють певну фігуру (підмножину) з множини фігур, яка відповідає її означенню. Процес вибору та підрахунку числа параметрів називають параметризацією.
Так, для виділення трикутника заданої форми з множини трикутників досить задати три числа(три сторони, одну сторону та два кути тощо). При цьому треба враховувати область існування параметрів. Щодо трикутника, то сума будь-яких двох сторін має бути більшою від третьої, жодна з сторін не може дорівнювати нулю.
Для оцінки параметрів слід прийняти зафіксовану систему віднесення. В нарисній геометрії такою системою є прямокутна декартова система координат, яка визначає тривимірний простір К3.
Розглянемо в тривимірному просторі множини основних геометричних фігур. Як відомо, в просторі К3 (рис. 3.1, а, б) положення довільної точки визначається трьома координатами — х, у, z. Отже, множина точок у тривимірному просторі є трипараметричною, тобто "3.
Прирівнюючи до нуля значення однієї з координат, дістанемо відповідну площину проекцій. Зокрема, якщо т. = 0, то матимемо горизонтальну площину хОу (поле) проекцій. У площині кожна точка визначається вже двома координатами. Отже, множина точок у площині є двопараметричною, тобто ~2.
Розглянемо множину прямих у просторі. Як відомо, для задання прямої загального положення в аксонометрії та прямокутних проекціях треба мати чотири параметри: по дві координати на двох площинах проекцій
(рис. 3.2, а, б). Таким чином, множина прямих у тривимірному просторі є чотирипараметричною, тобто ^4.
Якщо у тривимірному просторі розглядати площину, то легко переконатися, що для задання площини загального положення досить трьох параметрів. На рис. 3.3, а подано аксонометричне зображення площини загального положення, заданої трьома точками її перетину з координатними осями, а на рис. 3.3, б показано площину в прямокутних проекціях.
В інженерній та комп’ютерній графіці роль параметрів можуть виконувати
Розміри. Параметрам також можуть бути еквівалентні такі геометричні умови, як належність, паралельність, перпендикулярність або дотик.
Рис. 3.1
Рис. 3.3
Рис. 3.2
Рис. 3.3.
Розглянемо, наприклад, паралельні, прямі на площині. Всього на площині є ~2 прямих, а прямих, що задовольняють умову паралельності заданій прямій, є ~1. Таким чином, ~1, тобто умова параралельності на площині замінює один параметр. Геометричні умови можуть виражатися як графічно, так і словами.
Розрізняють параметри форми та параметри положення. Параметри форми дають змогу з множини фігур виділити підмножину конгруентних фігур (наприклад, квадрат за даною стороною). Визначення параметрів форми називають внутрішньою параметризацією. При цьому положення
Фігури в просторі до уваги не беруть. Позначимо число параметрів форми через Р. Точка, пряма й площина не мають параметрів форми і називаються елементарними фігурами.
Параметри положення визначають положення фігури в просторі. Визначення параметрів положення та підрахунок їх називають зовнішньою параметризацією. Число параметрів положення становить б.
Суму параметрів форми та параметрів положення називають параметричним числом:
P+Q=E
Розглянемо параметри положення на площині та в просторі. На площині (рис. 3.4, б) можливі три параметри положення: рух уздовж осей та поворот навколо початку координат. У тривимірному просторі параметрів положення, або ступенів вільності, шість — рух уздовж трьох координатних осей та поворот навколо них (рис. 3.4, б). Число цих параметрів максимальне.
Рис.3.4
Як відомо, число параметрів, що визначають пряму загального положення в просторі, — чотири. Якщо пряма паралельна площині проекцій, то ця умова еквівалентна одному параметру, вільними залишаються три параметри. Якщо пряма перпендикулярна до площини проекції, то ця умова еквівалентна двом параметрам, отже треба задати ще два параметри.
Розглянемо деякі приклади. Пряма на площині задається двома параметрами, наприклад, точками перетину з осями координат. Для визначення на цій прямій відрізка АВ необхідні вже чотири параметри (координати кінців відрізка). З цих чотирьох параметрів три є параметрами положення (дві координати точки А та кут між прямою та віссю Ох), а один — параметром форми (довжина відрізка). Трикутник на площині задається трьома параметрами — довжинами трьох сторін. У тривимірному просторі відрізок прямої задається шістьма параметрами, оскільки чотирма параметрами задається пряма, а двома параметрами — кінці відрізка’. З шести параметрів п’ять е параметрами положення (три координати точки А та два кути, утворені прямою з двома осями координат), а один — параметром форми (довжина відрізка).
3.2. Проекції точки
Проекцією точки е точка. При двох напрямах проекціювання, які вибрано в системі прямокутних проекцій, точка зображується парою точок. Винятком є точки, що належать осі х^, оскільки їхні проекції збігаються (рис. 3.5). Проекції точки мають таку властивість: фронтальна та горизонтальна проекції точки належать одній вертикальній лінії сполучення. Площини проекцій несуть інформацію про параметри положення точки, а саме: відстань від горизонтальної проекції точки до осі X12 є її ординатою, а відстань від фронтальної проекції до цієї самої осі є аплікатою точки.
Рисунок, що містить проекції на двох полях проекцій, є позиційно повним та метрично визначеним; він визначає форму та розміри зображуваної фігури. Проте, оскільки просторова фігура є тривимірною, а також у зв’язку з тим, що за двома зображеннями не завжди просто визначити конструкцію складного об’єкта, то доцільно крім двох основних проекцій давати ще проекцію на третю площину. За таку площину (поле проекцій) часто беруть профiльну площину проекцiй Пз та П2 (рис.3.6), i тому третю проекцiю називають профiльною.
Рис.3.5 Рис.3.7
Рис.3.6 Рис.3.8
Рис.3.9
При побудовi системи з трьох прямокутних проекцiй площину П2 вважають нерухомою, а площини Пi i Пз сумiщують з нею обертанням навколо осей х12 та Z23 вiдповiдно.
Площини (поля) проекцiй П1, П2 i П3, перетинаючись по трьох лiнiях, задають просторову декартову систему координат (рис.3.7). Точка О с початком координат, вiсь х — вiссю абсцис, вiсь у — вiссю аплiкат.
Площини проекцiй П1 та П2, продовженi за вiсь абсцис, подiляють тривимiрний простiр на чотири светрi. Якщо точка а лежить у i чвертi простору, то и горизонтальна проекцiя лежить нижче, а фронтальна — вище вiд осi х12. Рiзнi положения проекцiй точок, що лежать у I, II, II та IV чвертях простору, показано на рис.3.8. Точка В лежить у и чвертi, точка С — у II, точка В — у IV. Надалi мiркування стосуватимуться 1 чвертi, де всi координати додатнi.
Якщо задано три прямокутнi декартовi координати точки, то легко побудувати П прямокутнi проекцi. На рис. 3.9 показано двi прямокутнi проекцi точки А з координатами 4, 6, 5. додатнi значення координат вiдкладають вiд початку координат вiдповiдно по осям х, у, .
Список рекомендованої літератури
Гордон В. О., Семенцов-Огиевский М. А. Курс начертательной геометрии.- М.: Изд-во Наука, 1988. – 270 с.
Михайленко В. Є., Ковальов С. М. та ін. Нарисна геометрія. Підручник для вузів. – К.:Вища школа,1993. – 134с.
Винницкий И. Г. Начертательная геометрия. Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 1985.- 168с.
Михайленко В. Е. та ін. Инженерная графика. – Киев: Высшая школа, 1990.-290 с.
Михайленко В. Е. та ін. Інженерна та комп’ютерна графіка. За ред. Михайленка В. Е. Київ: Вища школа, 2000.