Практическое занятие Управление портфелем ценных бумаг.

Цель: Научится рассчитывать структуру портфеля ценных бумаг в различных экономических ситуациях.

План:

1. Портфель из многих видов ценных бумаг.

1.1. Задача сохранения капитала.

1.2. Задача получения желаемой (фиксированного) прибыли.

1.3. Задача обеспечения прироста капитала.

2.  Включение в портфель безрисковых ценных бумаг.

3.  Расчет структуры рыночного портфелю.

Рассмотрим примеры решения задач.

1. Портфель из многих видов ценных бумаг

Перейдем теперь к общему случаю, если в состав ПЦБ включено N (N>2) разных акций.

Рассмотрим, например, три акции, которые имеют нормы прибыли соответственно 15%, 10%, 5%, среднеквадратичные отклонения 10%, 7%, 3% и коэффициенты корреляции R23 = — 0,2; R12 = — 0,4; R13 = + 0,6.

В системе координат ТП – σП (норма прибыли — риск, рис. 1) построим точки А1, А2, А3, Что отвечают однородным ПЦБ, сформированным из соответствующих акций. На этом же рисунку построим линии (дуги), которые отвечают ПЦБ, сформированному из двух видов акций (ÈА3А1; ÈА3А2; ÈА2А1).

Рис. 1. Множество допустимых портфелей ценных бумаг

Точкам КÎ È А3А2 И L Î ÈА2А1 Отвечают определенные ПЦБ, сформированные из двух (соответственно А3, А2 и А2, А1) Видов акций. Для этих портфелей можно рассчитать нормы прибыли и риски. Будем считать теперь, что любой из этих портфелей является определенного вида «ценной бумагой» соответственно К И L. А потому, в свою очередь, можно сформировать новый ПЦБ для ЦБ К И L. Такие ПЦБ уже будут включать по три акции (А1, А2, А3) И им отвечает дуга ÈKL.

Размышляя таким образом, прийдем к выводу, что каждая точка, которая принадлежит к заштрихованной области (рис. ), отвечает некоторому ПЦБ, сформированному из трех видов акций.

Допустимым множеством ПЦБ Называется область, точки которой характеризуют степень риска и норму прибыли портфеля всех возможных долей отдельных акций в портфеле (на рис. — это область, ограниченная жирной линией.).

Особенностью дуги ÈО*А1, Которая належит допустимому множеству, есть то, что для любой точки этой дуги нельзя указать другой точки допустимой области, для которой ПЦБ был бы лучшей.

Эффективным множеством ПЦБ Называются те портфели, которые отвечают точкам дуги ÈО*A1. То есть эффективным портфелем считается такой, для которого в допустимом множестве ПЦБ нельзя указать другого портфеля:

• с тем же значением величины ожидаемой нормы прибыли и меньшей степенью риска;

• с тем же значением величины риску и большим значениям ожидаемой нормы прибыли.

Очевидно, что для ПЦБ, составленных из двух акций, допустимое множество совпадает с множеством эффективных портфелей, и они составляют дугу ÈО*A1 (рис. 1).

Рассмотрим теперь общий случай построения ПЦБ, сформированного из N ЦБ. Как и раньше, обозначим через Rk, тk = М(Rk), σk — соответственно норму прибыли, ожидаемую норму прибыли и риск K-ой ЦБ, K = 1, …, N; через ρKj — коэффициент корреляции между K-тым и J-тым видом ЦБ.

1.1. Задача сохранения капитала

Сущность ее состоит в выборе такой структуры ПЦБ, чтобы риск этого портфеля был минимальным. Формальная постановка этой задачи такая:

;

X1 + … + Xn =1;

Xk ³ 0, K=1, … , N.

Решением задачи отвечает точка О* На рис. 2.

Рис. 2. Геометрическая интерпретация задач по формированию разных видов ПЦБ.

Метод нахождения структуры ПЦБ, которое удовлетворяет условие поставленной задачи, базируется на построении и нахождении точки минимума соответствующей функции Лагранжа, которое, в свою очередь, сводится к решению следующей системы линейных алгебраических уравнений:

(4.1)

Здесь l — дополнительная переменная (неизвестная величина) появление которой вызвана использованием метода Лагранжа.

Следует иметь в виду, что метод Лагранжа, предложенный для решения поставленной задачи, не учитывает ограничений относительно того, что Хk ³ 0; K = 1, …, N. А потому решение системы (1) необходимо проанализировать с этой позиции.

Обозначим через X* = {Х1*; х2*;…; хN*} решение системы (1). Если все компоненты вектора X* является положительным (ХK* > 0, K = 1, …, N) то этот вектор описывает структуру оптимального ПЦБ, которое отвечает точке О* (рис.3).

Если среди компонент X* Окажутся отрицательные, то в искомый ПЦБ не включается та ЦБ, доля которого отрицательна и наименьшая среди полученных отрицательных долей. После изъятия этого ЦБ снова рассчитывается структура оптимального ПЦБ, составленного с (N-1) ЦБ. Процесс изъятия такого рода «неблагоприятных» ЦБ продолжается до тех пор, пока доли всех ЦБ, включенных в портфель, не станут положительными.

Пример 4.1. Ожидаемые нормы прибыли акций вида А1, А2, А3 и А4 составляют соответственно 60%, 50%, 40% и 70%. Риски этих акций составляют 40%, 30%, 25% и 50%. Тесноту связи между нормами прибыли этих акций отображают коэффициенты корреляции ρ12 = 0.2; ρ 13 = — 0,3; ρ 23 = — 0,5; ρ И4 = 0,9; ρ 24 = 0,7; ρ34 = — 0,3.

Необходимо сформировать из этих акций ПЦБ, который имеет минимальный риск. Оценить его ожидаемую норму прибыли и ее риск.

Решение. В соответствии с условием задачи

N = 3; σ12 = σ21 = σ1 σ2 ρ12 = 0,2×40×30 = 240;

σ13 = σ31 = -300; σ14 = σ41 = 1800; σ24 = σ42 = 1050;

σ23 = σ32 =-375; σ34= σ43=-375;

σ11 = σ12 = 1600; σ22 = σ22 = 900;

σ33 = σ32 = 625; σ44 = σ42= 2500.

В соответствии с (4.1) получаем систему уравнений:

Решив полученную систему уравнений, находим: X1 = 2,412; X2 = 1,768; Х3 = — 0,402; Х4 = — 2,778. Поскольку Х4 = — 2,778 — это наименьшее отрицательное число, то в дальнейшем акцию вида А4 в ПЦБ не включаем. Для акций вида А1, А2 и A3 составляем новую систему уравнений:

В соответствии с последней системой уравнений получаем, что Х1 = 0,1392; Х2 = 0,3453; Х3 = 0,5155.

Тогда величина ожидаемой нормы прибыли ПЦБ

MП* = х1т1 + х2m2 + X3т3 = 46,237,

А минимальная величина риска среди всех ПЦБ, сформированных из ЦБ вида А1, А2 и А3, составляет

! Замечание. Если ввести обозначение

; ;

Эту систему уравнений (4.1) можно записать в матричном виде:

A×X = B

Тогда решение системы (4.1) осуществляется в соответствии с формулой:

X = A-1×B

1.2. Задача получения желаемой (фиксированной) прибыли

Сущность задачи состоит в выборе такой структуры ПЦБ, чтобы ожидаемая норма прибыли этого портфеля была не меньше зафиксированного уровня Тс (тс = Const) и его риск при этом был минимальной. Формально эту задачу запишем в виде таких соотношений:

;

MП = M(RП) ³ MC

X1 + … + Xn =1;

Xk ³ 0, K=1, … , N.

Решение задачи получение прибыли отвечает точка «К» На рис. 3.

Для нахождения структуры ПЦБ, которое бы удовлетворяло условиям поставленной задачи, воспользуемся методом Лагранжа, который сводится к нахождению решения системы линейных алгебраических уравнений:

(4.2)

Где λ1, λ2 — дополнительные переменные (неизвестные величины), появление которых вызваны использованием метода Лагранжа.

Пример 4.2. Из акций вида А1, А2 и А3, Описанных в условии примера 4.1(ожидаемые нормы прибыли этих акций составляют соответственно 60%, 50% и 40%; риски — 40%, 30%, и 25%; коэффициенты корреляции — ρ12 = 0.2; ρ 13 = — 0,3; ρ 23 = — 0,5), сформировать ПЦБ, ожидаемая норма прибыли которого составляла бы MC = 50% и при этом риск портфеля был бы минимальной. Вычислить величину его риска.

Решение. В соответствии с (4.2) получаем систему уравнений:

Решив эту систему уравнений, получаем, что X1= 0,402; X2= 0,196; X3=0,402.

Ожидаемая норма прибыли сформированного ПЦБ

ТП = 0,402 × 60 + 0,196 × 50 + 0,402 × 40 = 50 = Тс,

А его риск

Как видим, что если бы ПЦБ был сформирован только из акций вида А2, То его ожидаемая норма прибыли была бы равной Тc = 50%, но риск его в таком случае составлял бы SП = 30%, то есть был бы большей почти в два раза.

1.3. Задача обеспечения прироста капитала

Сущность ее состоит в выборе такой структуры ПЦБ, чтобы его риск не превышал заданного фиксированного уровня σC (σC = const) и при этом достигалась максимальная по величине ожидаемая норма прибыли.

Формальная постановка задачи такая:

;

VП = D(RП) £ SC2

X1 + X2 + … + XN =1;

Xk ³ 0, K=1, … , N.

Решению задачи обеспечение прироста капитала отвечает точка «L» На рис 4.3.

Для нахождения структуры ПЦБ, которое удовлетворяет условиям поставленной задачи, снова воспользуемся методом Лагранжа, который сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений:

. (4.3)

Поделим правые и левые части первых (N + 1) уравнений на L1 и, положив z1 = — 1/L1, z2 = L2/L1, рассмотрим систему с N + 1 линейных уравнений с (N + 1) неизвестным:

(4.4)

Обозначив через А Матрицу коэффициентов системы (4.4) и положив, что , находим решение системы (4.4) в таком виде:

(4.5)

Если теперь положить

То долю акции вида АK в портфеле можно вычислить по формуле:

ХK = Z1× сK + DK, K = 1, …, N. (4.6)

Значение величины Z1 находим как решение квадратного уравнения, которое получаем после подстановки величин ХK, заданных в соответствии с (4.6), в (N+2)-е (последнее) уравнение системы (4.3). При этом выбирается то решение квадратного уравнения (по Z1), Которое обеспечивает большее значение ожидаемой нормы прибыли MП портфеля ценных бумаг.

Пример 4.3. Из акций вида А1, А2 и А3, Описанных в условии примера 4.1 (ожидаемые нормы прибыли этих акций составляют соответственно 60%, 50% и 40%; риски — 40%, 30%, и 25%; коэффициенты корреляции — ρ12 = 0.2; ρ 13 = — 0,3; ρ 23 = — 0,5), сформировать ПЦБ, риск которого составлял бы SC = 20% при максимально возможной ожидаемой норме прибыли портфеля.

Решение. В соответствии с (4.3) получаем систему нелинейных алгебраических уравнений:

(4.7)

Поделив правую и левую части первых четверых уравнений системы (4.7) на L1 и положив Z1 = — 1/L1, Z2 = L2/L1, приходим к системе четверых линейных уравнений:

Согласно с (4.5) получаем, что

Подставляя полученные выражения для Х1, х2, Х3 в пятое уравнение системы (4.7), приходим к квадратному уравнению относительно Z1:

0.0353 Z12 + 2.6572 Z1 — 248.7813 = 0, (4.8)

Откуда Z1¢ = — 83.9846 » -84; Z1² = 83.9151 » 84.

Для корня Z1¢ = 84 получаем, что Х1 = 0,4500; Х2 = 0,3202; X3 = 0,2298. Для корня Z1² = — 84 имеем, что значение Х1 = -0.1716 < 0, то есть корень Z1² квадратного уравнения (4.8) нас не удовлетворяет.

Исходя из найденных долей акций А1, А2 и А3, получаем, что сформированный ПЦБ имеет риск:

Его ожидаемая (максимально возможная при данных условиях) норма прибыли

ТП* = х1Т1 + х2Т2 + X3Т3 = 52.202(%).

2. Включение в портфель безрискованных ценных бумаг

Решение задачи формирование оптимального ПЦБ приобретает новых особенностей, если учесть факт существования на рынке как рисковых, так и безрисковых ЦБ (или почти безрисковых) типа государственных обязательств с фиксированной нормой прибыли.

А потому возникает Задача Правильного распределения капитала между безрисковыми и рисковыми вложениями.

Пусть Х — доля капитала, которую инвестор разместил в виде портфеля Е(ME; SE), Сформированного на основе рискованных вложений. Тогда (1 — х) — доля средств, размещенная под фиксированный процент RF, В безрисковые ЦБ. Норма прибыли от такого размещения капитала составит:

RП = (1- Х) RF + х RЕ,

А ожидаемая норма прибыли —

MП = (1 – X) RF + XmE

Риск такого размещения характеризуется величиной

Поскольку для безрисковых ЦБ SF = 0, SEF = 0, то

То есть величина доли Х Удовлетворяет соотношение:

Тогда

Уравнение

Или же

(4.9)

Является уравнениями прямой в двумерном пространстве (Т — σ). Эта прямая называется Линией рынка капиталов И характеризует ПЦБ, которые состоят как из безрискованных ЦБ, так и с ЦБ, отягощенных риском.

Если Е(ТЕ; σЕ) – это точка касательной линии рынка капиталов к множеству эффективных портфелей (рис. 4.3), то эту точку называют Рыночным (эффективным) портфелем.

Рис. 4.3. Учет в ПЦБ безрисковых ценных бумаг

На рис. 4.3 прямая RFN (линия рынка капиталов) представляет собой множество оптимальных решений, которые характеризуются пропорциональным (постоянным) соотношением прироста нормы прибыли к возрастанию степени риска.

Если Х = 0, то это означает, что весь капитал инвестор вкладывает в безрисковые ЦБ. Если же Х = 1, то это означает, что весь капитал вкладывается в рыночный портфель Е(ТЕ; σЕ).

В случае, если 0 < Х < 1, то задачу распределению капитала между рисковыми и безрисковыми ЦБ можно рассматривать как ситуацию Предоставления кредита (инвестирование) под фиксированный процент RF.

Величина Х > 1 в случае, если инвестор может воспользоваться ссудой и инвестировать в рыночный портфель Е(ТЕ;σЕ) большее, чем величина его собственного начального капитала (получение кредита).

3. Расчет структуры рыночного портфеля.

Запишем уравнения (4.9) в виде:

Поскольку — модифицированный коэффициент вариации рыночного портфеля Е(ТЕ;σЕ), имеет отрицательный ингредиент ( = ), То задача расчета его структуры сводится к нахождению такого портфеля из множества допустимых портфелей, который удовлетворял бы условие:

,

Где X = (X1, X2, …, XN);

Другими словами, Рыночным Является такой ПЦБ из множества допустимых портфелей, который обеспечивает минимум отношения между: возрастающей степенью риска и дополнительной прибылью по сравнению с ЦБ, которые имеют фиксированную норму прибыли.

Решение поставленной задачи сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений:

, (4.10)

Где YI = λ · ХI, I = 1, …, N.

Учитывая, что

,

Получаем:

Пример 4.4. Из акций вида А1 А2, А3, описанных в примере 4.1 (ожидаемые нормы прибыли этих акций составляют соответственно 60%, 50% и 40%; риски — 40%, 30%, и 25%; коэффициенты корреляции — ρ12 = 0.2; ρ 13 = — 0,3; ρ 23 = — 0,5), сформировать рыночный (эффективный) ПЦБ, если норма прибыли государственных облигаций (которые являются почти безрисковыми) составляет 10%.

Решение. С учетом условия задачи приходим к системе уравнений:

Решив эту систему уравнений, получаем, что Y1 = 0,041; Y1 = 0,082; Y3= 0,117. Поскольку λ = Y1 + Y2 + у3 = 0,24, то:

Х1 = У1\L = 0,171; Х2 = У2\L = 0,342; Х3 = У3\L = 0,487.

Ожидаемая норма прибыли сформированного ПЦБ

Те = х1Т1 + X2M2 + Х3Т3 = 46,83 (%),

Его риск (среднеквадратичное отклонение)

Пример 4.5. (Предоставление кредита). Инвестор сформировал эффективный портфель, рассчитанный в примере 4.4. Он принял решения относительно размещения 75% денежных средств в рыночный портфель, остаток — в ценные бумаги, которые необремененные риском.

Необходимо вычислить ожидаемую норму прибыли и риск портфеля инвестора.

Решение. Поскольку ТЕ = 46,84%, SЕ =12,388%, RF =10%, Х = 0,75, то

MП = (1-Х)×RF + X×ME = 0,25×10 + 0,75×46,84 = 37,63(%),

SП = X× SE = 0,75 × 12,388 = 9,291(%).

Пример 4.6. (Получение кредита). Инвестор использует эффективный портфель, рассчитанный в примере 4.4. Он принял решения по размещению капитала в рыночный портфель, который составляет 120% по отношению к собственному капиталу.

Необходимо вычислить долю ссудных средств, ожидаемую норму прибыли и риск его портфеля.

Решение. Поскольку ТЕ = 46,84%, SЕ =12,388%, RF =10%, Х = 1,2, то MП = (1-Х)×RF + X×ME = (1 — 1,2) × 10 + 1,2 × 46,84 = 54,208(%),

SП = X× SE = 1,2 × 12,388 = 14,866(%).

Доля ссудных средств составляет 20% (20% = 120% — 100%) объема собственного капитала.

Пример 4.7. Инвестор использует эффективный портфель, рассчитанный в примере 4.4. Он принял решения по размещению 120% собственного капитала в рыночный портфель.

Необходимо построить линию рынка капиталов и осуществить соответствующий анализ.

Решение. Поскольку ТЕ = 46,84%, SЕ =12,388%, RF =10%, то исходя из соотношения

Получаем соответствующее уравнение линии рынка капиталов:

Или же

Итак, для эффективного портфеля увеличения риска на 1 % приводит к увеличению его нормы прибыли почти на 3% (на 2,974%).

Если же выходить из соотношения

Это получаем такое уравнение:

А потому для эффективного портфеля увеличения нормы прибыли на 1% приводит к увеличению его риска почти на 0,3363%, то есть на величину модифицированного коэффициента вариации (СУЕҐ — = 0,3363).

.

Литература: 1, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 18.