Лекція №9 Взаємний перетин кривих поверхонь, з яких одна є проекціювальною. Взаємний перетин кривих поверхонь у загальному положенні Взаємний перетин кривих поверхонь другого порядку по плоских кривих

9.1 Взаємний перетин кривих поверхонь, з яких одна є проекціювальною.

Оскільки проекціювальною може бути тільки циліндрична поверхня, то розглянемо два приклади, в яких однією з поверхонь, що перетинаються, є саме така поверхня.

На рис. 9.1 зображено циліндр і конус обертання, які перетинаються. Тут маємо однобічне внутрішнє стикання, а саме: в точці М можна провести спільну дотичну площину до обох поверхонь. Фронтальна проекція лінії взаємного перетину збігається з фронтальною проекцією циліндра. Горизонтальну проекцію визначають за точками, які знаходять за допомогою горизонтальних допоміжних січних площин, що перетинають конус по колу відповідного радіуса, а циліндр — по твірних. Найвищі дві точки 1 і 2 визначають за допомогою горизонтальної площини Г, що дотикається до циліндра по найвищій твірній. Найнижчі дві точки 3 та 4 знаходять за допомогою горизонтальної січної площини Л, яка дотикається до циліндра знизу. Точки на контурних твірних циліндра 5, 6, 7, 8 визначають за допомогою горизонтальної січної площини Ф. У разі потреби можна ще провести кілька горизонтальних січних площин. Сполучаючи знайдені точки, проводять криву, яка в точці М має точку самоперетину. При взаємному перетині двох поверхонь другого порядку результуюча крива має четвертий алгебраїчний порядок. Як відомо, таку криву можна перетнути площиною в чотирьох точках

(див. рис. 9.1).

Рис. 9.1.

9.2.Взаємний перетин кривих поверхонь у загальному положенні

Вище вже зазначалося, що для визначення лінії взаємного перетину двох поверхонь загального положення доцільно скористатися допоміжним косокутним або центральним проекціюванням. Цей спосіб ефективний, коли перетинаються циліндричні та конічні поверхні.

На рис. 9.2 показано побудову лінії взаємного перетину двох еліптичних циліндрів. При цьому використано косокутне допоміжне проекціювання обох циліндрів на площину їхньої основи. За напрям проекціювання взято напрям осі циліндра більшого діаметра. При такому проекціюванні більший циліндр спроекціюеться колом своєї основи. Для визначення допоміжної проекції циліндра меншого діаметра на його осі взято довільну точку М, яку спроекційова-но в напрямі осі більшого циліндра в точку М(. Сполучивши її прямою з центром основи меншого циліндра, дістанемо напрям допоміжної проекції твірних меншого циліндра. Якщо паралельно цьому напряму провести дві дотичні до основи меншого циліндра, то матимемо його косокутну проекцію. В перетині її з основою більшого циліндра визначиться тип взаємного перетину двох поверхонь. У цьому випадку дістаємо урізування, тобто буде одна просторова крива, яку визначають за точками.

Неважко показати, що знайдений напрям допоміжних проекцій твірних буде такий самий, якщо обидва циліндри спро-екціювати на площину їхньої основи у напрямі осі меншого циліндра. Дістанемо точки перетину допоміжних проекцій твірних

З основою другого циліндра, які повертаються в зворотному напрямі на свої місця. Наприклад, контурна твірна меншого циліндра перетинається з колом більшого в точках У, та 2,. Ці точки в зворотному напрямі проекціюються на саму твірну в точки У | та 2|. Фронтальні проекції їх визначають за вертикальною відповідністю. Як відомо, визначаючи точки перетину, треба насамперед знайти характерні точки, а саме: точки на контурних твірних обох проекцій. Так, на полі П, на лівій контурній твірній меншого циліндра визначено точки 3 та 4, а на правій контурній кривій меншого циліндра на полі П, — точки 5 і 6.

Отже, якщо провести пряму, паралельну допоміжній проекції твірних циліндра так, щоб вона перетинала обидва кола основи, то визначаться чотири точки, через які пройдуть чотири твірні, які, перетинаючись, дадуть чотири точки лінії перетину.

Побудову лінії взаємного перетину двох еліптичних конусів показано на рис. 9.2.

Рис. 9.2.

Тут використане допоміжне центральне проекціювання з вершин конусів. Так, обидва конуси центральне проекціюються з вершини Т на горизонтальну площину їхніх основ. При цьому допоміжною проекцією вершини S буде точка S1. Ця сама точка буде також центральною проекцією вершини T при проекціюванні її з вершини S.

При проекціюванні обох конусів з вершини Т конус T спроекціюється колом своєї основи, а менший конус — фігурою, яку одержимо, якщо проведемо з точки T1 = S1 дотичні до основи меншого конуса. Розглядаючи допоміжну проекцію, бачимо, що маємо випадок урізування, тобто одну криву взаємного перетину, її точки визначають спочатку на допоміжній проекції, а потім їх проекціюють центральне у зворотному напрямі на своє місце. Наприклад, на допоміжній проекції контурна твірна меншого конуса перетинається уколом основи більшого в точках 11, та 21. Проекціюючи їх у вершину T до перетину з горизонтальною проекцією твірної, знаходять точки 11 та 21, а за вертикальною відповідністю і фронтальні проекції цих точок. Як і в попередньому прикладі, будь-яка пряма, що проходить через точку Т1 = S1 та перетинає обидва кола основи, дасть чотири точки лінії взаємного перетину.

Рис. 9.3.

На рис. 9.4 показано використання способу концентричних сфер для визначення лінії перетину між конусом обертання та однопорожнинним гіперболоїдом обертання. Для використання способу концентричних сфер мають виконуватися дві умови: 1) осі поверхонь обертання мають перетинатися; 2) ці осі мають бути паралельні одній з площин проекцій. У розглядуваному випадку обидві умови виконуються: осі перетинаються та паралельні фронтальній площині проекцій. Спочатку визначають точки перетину контурів обох поверхонь. Це точки І, 2, 3 та 4, Тут маємо наскрізне проникнення, тобто лінія перетину складається з двох симетричних кривих. Для визначення точок взаємного перетину з точки О перетину осей проводимо кілька сфер, які перетинають обидві поверхні по колах, що проекціюються своїми діаметрами. На рисунку менша сфера вписана в конус і має з ним одне спільне горизонтальне коло. Вона перетинається з однопорожнинним гіперболоїдом по двох профільних колах. У перетині горизонтального кола з двома профільними дістанемо чотири точки: 5, 6, 7, 8.

На рис. 9.4 зображено ще одну — більшу сферу, яка перетинає гіперболоїд по двох профільних колах, а конус — по горизонтальному колу. В результаті перетину їх дістанемо ще чотири точки: 9, 10, 11, 12. У горизонтальному перерізі, що проходить через вісь гіперболоїда, можна дістати ще чотири точки при перетині кола, що лежить у площині T, з лініями обрису гіперболоїда на полі П1. За визначеними точками проводимо дві криві четвертого порядку.

На рис. 9.5 показано застосування способу ексцентричних сфер при визначенні лінії взаємного перетину вертикального зрізаного конуса й тора. Цей спосіб можна використовувати при взаємному перетині поверхонь обертання та циклічних поверхонь, що мають спільну площину симетрії, яка паралельна одній з площин проекцій. Найвищу точку 12 та найнижчу 22 визначають безпосередньо на полі П2 як перетин контурних твірних конуса та контурної твірної тора.

Для визначення інших точок лінії взаємного перетину обидві поверхні перетинаються пучком фронтально проекціюваль-них площин, що проходять через вісь тора, перпендикулярну до П2. На рис. 9.5 зображено дві з таких площин: Г2 та Л2. Площина Г2 перетинає вісь тора в точці 52, а тор — по колу з центром у цій точці. Якщо поставити перпендикуляр у точці 52 до площини кола, то він перетне вісь конуса в точці О’, яка разом з точкою 52 визначить вісь "миттєвого" циліндра. Тепер досить з точки 0і провести сферу, що перетне цей циліндр по колу з центром 52, Щ°б визначити коло перетину цієї сфери з конусом. У перетині двох кіл при фронтально про-екціювальному положенні визначаться дві точки лінії перетину: 32 і 42. На рисунку показано, як за допомогою площини Л2 знайти також вісь "миттєвого" циліндра Т2О", а за нею визначити відповідний радіус сфери і знайти точки 52 та 62.

Слід звернути увагу на таку закономірність при взаємному перетині двох алгебраїчних поверхонь другого порядку: якщо дві алгебраїчні поверхні другого порядку, що перетинаються, мають спільну вощину симетрії, то лінія перетину їх (в загальному випадку четвертого порядку) про-екціюється на цю та іншу паралельну їй площину у вигляді кривої другого порядку. Зокрема, гіпербола утворюється при взаємному перетині циліндрів, конусів, параболоїдів, гіперболоїдів, еліпсоїдів, парабола — при перетині сфери з будь-якою поверхнею другого порядку. Еліпсом крива четвертого порядку проекціюється при перетині стиснутого еліпсоїда з циліндром, конусом, розтягнутим еліпсоїдом, параболоїдом, гіперболоїдом.

Рис. 9.4 Рис. 9.5.

9.3. Взаємний перетик кривих поверхонь другого порядку по плоских кривих.

Перетин поверхонь другого порядку по плоских кривих становить не тільки теоретичний інтерес, а й широко застосовується при розв’язуванні багатьох технічних задач.

Якщо перетнути площиною дві поверхні другого порядку, що перетинаються між собою, то дістанемо дві криві другого порядку, які в загальному випадку перетинаються між собою в чотирьох точках, що належать кривій взаємного перетину четвертого порядку. Для інженерної практики важливе значення мають випадки, коли крива четвертого порядку розпадається на більш прості лінії, наприклад, на чотири прямі, пряму та криву третього порядку або на дві криві другого порядку. Одна з двох кривих може бути також уявною.

Рис. 9.6.

Ознаки розпаду кривої четвертого порядку на дві криві другого порядку формулюються в трьох теоремах, які подаємо без доведення.

1. Теорема Монжа. Якщо дві поверхні другого порядку описані навколо третьої поверхні другого порядку або вписані в неї, то вони перетинаються по двох плоских кривих, площини яких проходять через пряму, що сполучає точки перетину ліній дотику.

2. Якщо дві поверхні другого порядку мають дві точки дотику, то лінія перетину їх розпадається на дві криві другого порядку, площини яких проходять через пряму, що сполучає ці точки.

3. Якщо дві поверхні другого порядку перетинаються по одній плоскій кривій, то вони перетинаються ще по одній кривій, яка також є плоскою.

Перетин циліндра з конусом по плоских кривих показано на рис. 9.6. Обидві поверхні описані тут навколо однієї сфери і перетинаються по двох еліпсах, що лежать у фронтально проекціювальних площинах

Список рекомендованої літератури

Гордон В. О., Семенцов-Огиевский М. А. Курс начертательной геометрии.- М.: Изд-во Наука, 1988. – 270 с.

Михайленко В. Є., Ковальов С. М. та ін. Нарисна геометрія. Підручник для вузів. – К.:Вища школа,1993. – 134с.

Винницкий И. Г. Начертательная геометрия. Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 1985.- 168с.

Михайленко В. Е. та ін. Инженерная графика. – Киев: Высшая школа, 1990.-290 с.

Михайленко В. Е. та ін. Інженерна та комп’ютерна графіка. За ред. Михайленка В. Е. Київ: Вища школа, 2000.

Метки: , ,